Aproximaciones en las ecuaciones de la Astrofísica

Objetivos:
Que el estudiante comprenda la manera en que las aproximaciones de primer orden se utilizan en el estudio de los objetos astrofísicos.

Contenido:
Aproximaciones de primer orden
Estimación del orden de magnitud.
Relaciones de proporcionalidad.
Análisis dimensional.

Los objetos astrofísicos, ya sean planetas, estrellas, nebulosas o galaxias, son sistemas muy complejos. Con objeto de simplificar los sistemas de ecuaciones que describen a estos objetos hasta en punto en que pueda dárseles solución, los astrofísicos utilizan aproximaciones a las funciones involucradas. Las aproximaciones utilizadas algunas veces en astrofísica pueden parecer, en un primer momento, muy burdas, sin embargo, como comprobaremos en esta actividad, permiten visualizar de manera general las características de los sistemas astrofísicos.

La expansión en serie de potencias es una herramienta muy útil para obtener buenas aproximaciones simples. Al realizar esta tarea de aprendizaje utilizarás esta herramienta matemática y comprenderás, a partir del estudio de casos, la manera en que las aproximaciones son utilizadas en la astrofísica para simplificar la resolución de las ecuaciones involucradas en la descripción de los fenómenos. De manera particular, en esta tarea utilizaremos las aproximaciones para hacer soluble una ecuación diferencial que describe el movimiento de una estrella en una galaxia.

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD.
Algunas veces, la diferencia entre resultados obtenidos a partir de distintas aproximaciones o suposiciones toma la forma de una función común de algún parámetro físico fundamental multiplicada por distintos factores que son independientes de estos parámetros. Como ejemplificamos en clase, en estos casos, podemos utilizar las relaciones de proporcionalidad para contar con una perspectiva global que nos permita aproximarnos de manera general a la comprensión de un fenómeno en particular.

ANÁLISIS DIMENSIONAL.
Esta herramienta es igualmente útil para poder predecir en una primera aproximación tamaños de objetos o escalas de tiempo.

La escala del Universo.

(Imagen tomada de www.astromia.com/fotostierra/tierrayluna.htm )

El video que analizamos ha logrado empezar a integrar nuestro equipo de trabajo. Ha motivado la expresión de nuestras perspectivas acerca de la vastedad del Universo... ¿Creen que realmente podamos comprender qué TAN GRANDE es?. Powers of ten, un clásico de Charles y Ray Eames, nos permite viajar por todas esas potencias de diez que hay que tomar en cuenta para incluir todos los aspectos estudiados por la Astronomía contemporánea.

Debido a las inmensas distancias involucradas, y al amplio rango de escalas que utilizaremos en nuestro curso (desde la atómica, pasando por la humana, hasta los alcances del Universo Astronómico) es importante comprender y alcanzar el dominio de las potencias de diez, la notación científica y los órdenes de Magnitud.

Las potencias de diez se refieren a la secuencia de números formada tomando la base 10 a diferentes potencias enteras, por ejemplo 1, 10, 100, 1000, ..., lo mismo que 1.1, 0.01, 0.001, etc.

En la notación científica se especifican abreviadamente las potencias de diez implícitas en un número en particular.

La idea detrás de los órdenes de magnitud es la siguiente: 1 orden de magnitud significa un factor de 10 (de modo que 2 órdenes de magnitud es igual a 100, etc.). Así, los números 0.003 y 30 están separados por 4 órdenes de magnitud, o 10000. Es más fácil visualizar esto escribiendo los números en notación científica, 0.003=3x10^-3 y 30=3x10^1, y notando que la diferencia en los exponentes 1 menos -3 es 4.

Como las cantidades en Astronomía, tales como distancias, masas o luminosidades cubren un espectro muy amplio, es útil desarrollar la habilidad para hacer estimaciones y aproximar los valores al orden de magntud más cercano. Este tipo de cálculo abreviado recibe el nombre de estimación del orden de magnitud.

¡ATENCIÓN! Orden de magnitud no es lo mismo que magnitud (de una estrella, por ejemplo) la cual denota brillantez. Regresaremos a este punto cuando estudiemos el brillo estelar. Así que recuerden que cuando digamos "orden de magnitud" nos referiremos a factores de 10 y que cuando digamos "magnitud" nos referiremos a las unidades de brillo relativo.

Para ayudarnos a visualizar las escalas del Universo, tomemos como referencia la "Escala Manual del Universo" propuesta de Steven T. Myers, plasmada en su curso "Survey of the Universe" (disponible en línea en http://www.aoc.nrao.edu/~smyers/courses/astro01/L1.html#sec.2) y que se basa en el tamaño de su puño (del tuyo en este caso). En promedio, el puño de una persona que comprime una pelota mide 10 cm. Hagamos que esto represente a la Tierra. Sabemos que el radio ecuatorial de la Tierra es de 6378 km, lo que significa que tiene un diámetro de alrededor de 12800 km (redondeado, en un intento por hacer los cálculos más sencillos). La Luna tiene un radio de 1738 km (un diámetro de aproximadamente 3500 km), o 27% el diámetro de la Tierra. Esto hace 2.7 centímetros en nuestra escala, o aproximadamente el tamaño de un pulgar. La Luna se encuentra a 384000 km de la Tierra, o visto de otra forma, a 30 diámetros terrestres (=384000/12800). Entonces, para representar a la Tierra y su satélite natural en nuestra escala, debemos colocar a la Luna (el pulgar) a 30x(10cm)=300cm=3m de nuestro puño. Trata de vivenciar esta representación pidiendo a un(a) compañer@ que represente a la Luna con su pulgar ubicado a 3m de tu puño (la Tierra) e imaginen a la nave espacial Apolo (que en nuestra escala medirá aproximadamente 0.002 mm o 2 micras, ¡un grano de polvo!) siendo lanzada desde tu puño para cruzar los tres metros que la separan del pulgar de tu compañer@.

El Sol tiene un diámetro aproximado de 1.4x10^6 km, ¿que diámetro tendrá en nuestra escala?. La distancia promedio entre el Sol y la Tierra es de 150x10^6 km. ¿A qué distancia de tu puño deberías colocarlo para ejemplificar su posición respecto a la Tierra?

La distancia promedio entre la Tierra y el Sol se conoce como Unidad Astronómica, o AU, por sus siglas en inglés. La Unidad Astronómica es una medida conveniente para medir las órbitas de los planetas en nuestro sistema solar. ¿A cuánto equivale 1 AU en nuestra escala?

Los invito a adjuntar sus respuestas.

¿Qué tan grande es el universo?

Utilizaremos un modelo a escala del sistema solar y la Galaxia para tratar de dar respuesta a esta pregunta.

Chequen el video:



El original con audio en inglés...